Simetría icosaédrica

La simetría icosaédrica^[1]​ (también denominada simetría icosaedral o simetría del icosaedro) es el conjunto de propiedades reflexivas de aquellas figuras del espacio tridimensional que poseen las 60 simetrías rotacionales (o que conservan la orientación) y un orden de simetría de 120, incluidas las transformaciones que combinan una reflexión y una rotación, que son propias de un icosaedro regular. Tanto el dodecaedro regular (dual del icosaedro) como el triacontaedro rómbico tienen el mismo conjunto de simetrías.

El grupo de simetría completo (incluidas las reflexiones) se conoce como el grupo de Coxeter H₃, y también está representado en la notación de Coxeter por [5,3] y posee un diagrama de Coxeter-Dynkin .

El conjunto de simetrías que conservan la orientación forma un subgrupo que es isomorfo al grupo A₅ (el grupo alternante de 5 letras).

Como grupo de puntos

Aparte de las dos series infinitas de simetría prismática y antipismática, la simetría icosaédrica rotacional o simetría icosaédrica quiral de objetos quirales y la simetría icosaédrica completa o simetría icosaédrica aquiral son las simetrías de puntos discretos (o equivalentemente, simetrías en la esfera) con los grupos de simetrías más grandes.

La simetría icosaédrica no es compatible con la simetría traslacional, por lo que no existen grupos de puntos cristalográficos o grupos espaciales asociados.

Las presentaciones correspondientes a los grupos anteriores son:

${\displaystyle I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \ }$

${\displaystyle I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\ }$

Estos valores corresponden a los grupos icosaédricos (rotacionales y completos) siendo los (2,3,5) grupos triangulares.

La primera presentación fue realizada por William Rowan Hamilton en 1856, en su artículo sobre cálculo icosiano.^[2]​

Debe tenerse en cuenta que son posibles otras presentaciones, por ejemplo, como un grupo alternante (para I).

Visualizaciones

Estructura del grupo

El grupo de rotación icosaédrico I es de orden 60. El grupo I es isomorfo a A₅, el grupo alternante de permutaciones pares de cinco objetos. Este isomorfismo se puede representar mediante I actuando sobre varios compuestos, en particular el compuesto de cinco cubos (que se inscribe en el dodecaedro), el compuesto de cinco octaedros o cualquiera de los dos compuestos de cinco tetraedros (que son quirales y se inscriben en el dodecaedro).

El grupo contiene 5 versiones de T_h con 20 versiones de D₃ (10 ejes, 2 por eje) y 6 versiones de D₅.

El grupo icosaédrico completo I_h tiene orden 120. Tiene a I como subgrupo normal de índice 2. El grupo I_h es isomorfo a I×Z₂, o A₅ ×Z₂, con inversión en el centro correspondiente al elemento (identidad, -1), donde Z₂ se escribe multiplicativamente.

I_h actúa sobre el compuesto de cinco cubos y el compuesto de cinco octaedros, pero −1 actúa como identidad (ya que los cubos y los octaedros son centralmente simétricos). Actúa sobre el compuesto de diez tetraedros: I actúa sobre las dos mitades quirales (compuestos de cinco tetraedros), y −1 intercambia las dos mitades. En particular, no actúa como S₅, y estos grupos no son isomorfos; véase más abajo para más detalles. El grupo contiene 10 versiones de D_3d y 6 versiones de D_5d (simetrías como antiprismas). I también es isomorfo a PSL₂ (5), pero I_h no es isomorfo a SL₂(5).

Isomorfismo de I con A₅

Es útil describir explícitamente cómo se ve el isomorfismo entre I y A₅. En la siguiente tabla, las permutaciones P_i y _iX actúan sobre 5 y 12 elementos respectivamente, mientras que las matrices de rotación M_i son los elementos de I. Si P_k es el producto de tomar la permutación P_i y aplicarle P_j, entonces para los mismos valores de i, j y k, también es cierto que _kX es el producto de tomar _iX y aplicar _jX, y también que premultiplicar un vector por M_k es lo mismo que premultiplicar ese vector por M_i y luego premultiplicar ese resultado con M_j, es decir, M_k = M_j × M_i. Dado que las permutaciones P_i son las 60 permutaciones pares de 12345, la correspondencia uno a uno se hace explícita, y por lo tanto, el isomorfismo también.

Grupos comúnmente confundidos

Los siguientes grupos tienen todos el orden 120, pero no son isomorfos:

• S₅, el grupo simétrico en 5 elementos
• I_h , el grupo icosaédrico completo (tema de este artículo, también conocido como H₃)
• 2I, el grupo icosaédrico binario

Corresponden a las siguientes sucesiones exactas cortas (la última de las cuales no se divide) y productos

${\displaystyle 1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1}$

${\displaystyle I_{h}=A_{5}\times Z_{2}}$

${\displaystyle 1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1}$

Expresado mediante palabras,

• ${\displaystyle A_{5}}$ es un subgrupo normal de ${\displaystyle S_{5}}$
• ${\displaystyle A_{5}}$ es un factor de ${\displaystyle I_{h}}$, que es un producto directo
• ${\displaystyle A_{5}}$ es un grupo cociente de ${\displaystyle 2I}$

Téngase en cuenta que ${\displaystyle A_{5}}$ tiene una representación tridimensional irreducible excepcional(como el grupo de rotación icosaédrico), pero ${\displaystyle S_{5}}$ no tiene una representación tridimensional irreducible, correspondiente al grupo icosaédrico completo que no es el grupo simétrico.

Estos elementos también pueden relacionarse con grupos lineales sobre el cuerpo finito con cinco elementos, que exhiben los subgrupos y los grupos de recubrimiento directamente; ninguno de estos es el grupo icosaédrico completo:

• ${\displaystyle A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),}$ el grupo lineal proyectivo, consúltese aquí para ver una demostración;
• ${\displaystyle S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),}$ el grupo lineal proyectivo;
• ${\displaystyle 2I\cong \operatorname {SL} (2,5),}$ el grupo lineal especial.

Clases conjugadas

Las 120 simetrías se dividen en 10 clases de conjugación:

Subgrupos del grupo completo de simetría icosaédrica

Cada línea de la siguiente tabla representa una clase de subgrupos conjugados (es decir, geométricamente equivalentes). La columna "Mult." (multiplicidad) da el número de subgrupos diferentes en la clase de conjugación.

Explicación de colores: verde = los grupos que son generados por reflexión, rojo = los grupos quirales (que conservan la orientación), que contienen solo rotaciones.

Los grupos se describen geométricamente en términos del dodecaedro. La abreviatura "m.v.i. (arista)" significa "media vuelta intercambiando este borde con su borde opuesto", y de manera similar para "cara" y "vértice".

Estabilizadores de vértices

Los estabilizadores de un par de vértices opuestos pueden interpretarse como estabilizadores del eje que generan.

• Los estabilizadores de vértice en I producen grupo cíclicos C₃
• Los estabilizadores de vértice en I_h producen grupos diedros D₃
• Los estabilizadores de un par opuesto de vértices en I producen grupos diédricos D₃
• Los estabilizadores de un par opuesto de vértices en I_h producen ${\displaystyle D_{3}\times \pm 1}$

Estabilizadores de aristas

Los estabilizadores de un par opuesto de aristas se pueden interpretar como estabilizadores del rectángulo que generan.

• Los estabilizadores de aristas en I generan grupos cíclicos Z₂
• Los estabilizadores de aristas en I_h generan grupos de Klein ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}}$
• Los estabilizadores de un par de aristas en I generan grupos de Klein ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}}$; hay 5 de estos, dados por rotación de 180° en 3 ejes perpendiculares.
• Los estabilizadores de un par de aristas en I_h generan ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}}$; hay 5 de estos, dados por reflexiones en 3 ejes perpendiculares.

Estabilizadores de caras

Los estabilizadores de un par de caras opuestas pueden interpretarse como estabilizadores del antiprisma que generan.

• Los estabilizadores de caras en I dan grupos cíclicos C₅
• Los estabilizadores de caras en I_h dan grupos diédricos D₅
• Los estabilizadores de un par opuesto de caras en I dan grupos diédricos D₅
• Los estabilizadores de un par opuesto de caras en I_h dan ${\displaystyle D_{5}\times \pm 1}$

Estabilizadores de poliedros

Para cada uno de ellos, hay 5 copias conjugadas, y la acción de conjugación da una aplicación, de hecho un isomorfismo, ${\displaystyle I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}$.

• Los estabilizadores de los tetraedros inscritos en I son una copia de T
• Los estabilizadores de los tetraedros inscritos en I_h también son una copia de T
• Los estabilizadores de los cubos inscritos (o el par opuesto de tetraedros u octaedros) en I iguamente son una copia de T
• Los estabilizadores de los cubos inscritos (o el par opuesto de tetraedros u octaedros) en I_h son una copia de T_h

Generadores del grupo de Coxeter

El grupo completo de simetría icosaédrica [5,3] () de orden 120 tiene generadores representados por las matrices de reflexión R₀, R₁, R₂ que figuran a continuación, con relaciones R₀² = R₁² = R₂² = (R₀ × R₁) ⁵ = (R₁ × R₂) ³ = (R₀ × R₂) ² = Identidad. El grupo [5,3] () de orden 60 se genera mediante dos rotaciones cualesquiera S_0,1, S_1,2, S_0,2. Un rotación impropia de orden 10 es generada por V_0,1,2, el producto de los 3 reflejos. Aquí ${\displaystyle \phi ={\tfrac {{\sqrt {5}} 1}{2}}}$ denota el número áureo.

Dominio fundamental

El dominio fundamental para el grupo de rotación icosaédrico y el grupo icosaédrico completo están dados por:

En el hexaquisicosaedro una cara completa es un dominio fundamental. Se pueden obtener otros sólidos con la misma simetría ajustando la orientación de las caras, por ejemplo, aplanando subconjuntos seleccionados de caras para combinar cada subconjunto en una cara, o reemplazar cada cara por varias caras o una superficie curva.

Poliedros con simetría icosaédrica

Poliedros quirales

Simetría icosaédrica completa

Otros objetos con simetría icosaédrica

• Superficies de Barth
• Virus y cápsides
• En química, el ion dodecaborato ([B₁₂H₁₂] ²⁻) y la molécula dodecahedrano (C₂₀H₂₀)

Cristales líquidos con simetría icosaédrica

Para la fase material intermedia denominada cristal líquido, H. Kleinert y K. Maki^[3]​ propusieron la existencia de simetría icosaédrica, y su estructura se analizó por primera vez en detalle en ese documento. Véase el artículo de revisión aquí.

En el aluminio, la estructura icosaédrica se descubrió experimentalmente tres años después por Dan Shechtman, lo que le valió el Premio Nobel en 2011.

Geometrías relacionadas

La simetría icosaédrica es equivalente al grupo lineal proyectivo PSL (2,5), y es el grupo de simetría de la curva modular X (5), y más generalmente PSL (2, p) es el grupo de simetría de la curva modular X(p). La curva modular X(5) es geométricamente un dodecaedro con una cúspide en el centro de cada cara poligonal, lo que demuestra el grupo de simetría.

Esta geometría, y el grupo de simetría asociado, fue estudiado por Felix Klein como las monodromías de una superficie de Belyi, una superficie de Riemann con un aplicación holomórfica de la esfera de Riemann, ramificada solo en 0, 1 e infinito (una función de Belyi); las cúspides son los puntos que se encuentran sobre el infinito, mientras que los vértices y los centros de cada borde se encuentran sobre 0 y 1; el grado de cobertura (número de hojas) es igual a 5.

Esto surgió de sus esfuerzos por dar una interpretación geométrica de por qué surgió la simetría icosaédrica en la solución de la ecuación de quinto grado, con la teoría dada en el famoso (Klein, 1888); una exposición moderna se da en (Tóth, 2002, Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron, p. 66).

Las investigaciones de Klein continuaron con su descubrimiento de las simetrías de orden 7 y 11 en (Klein, 1878/79b) y (Klein, 1879) (y recubrimientos asociados de grado 7 y 11) y dibujos de niños, la primera produciendo la cuártica de Klein, cuya geometría asociada posee un teselado formado por 24 heptágonos (con una cúspide en el centro de cada uno).

Se producen geometrías similares para PSL (2, n) y grupos más generales para otras curvas modulares.

Más exóticamente, existen conexiones especiales entre los grupos PSL (2,5) (orden 60), PSL(2,7) (orden 168) y PSL (2,11) (orden 660), que también admiten interpretaciones geométricas - PSL (2,5) son las simetrías del icosaedro (género 0), PSL (2,7) de la cuártica de Klein (género 3) y PSL (2,11) de la superficie de la buckybola (género 70). Estos grupos forman una trinidad en el sentido definido por Vladímir Arnold, que proporciona un marco para las diversas relaciones.

Existe una estrecha relación con otros sólidos platónicos.

Véase también

• Simetría tetraédrica
• Simetría octaédrica
• Grupo icosaédrico binario
• Cálculo icosiano

Referencias

Bibliografía

• Klein, F. (1878). «Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen» [On the order-seven transformation of elliptic functions]. Mathematische Annalen 14 (3): 428-471. S2CID 121407539. doi:10.1007/BF01677143.  Traducido al Levy, Silvio, ed. (1999). The Eightfold Way. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66066-2. MR 1722410. 
• Klein, F. (1879), «Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (On the eleventh order transformation of elliptic functions)», Mathematische Annalen 15 (3–4): 533-555, S2CID 120316938, doi:10.1007/BF02086276, collected as pp. 140–165 in Oeuvres, Tome 3 .
• Klein, Felix (1888), Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree, Trübner & Co., ISBN 0-486-49528-0trans. George Gavin Morrice .
• Tóth, Gábor (2002), Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli .
• Peter R. Cromwell, "Poliedros" (1997), pág. 296
• Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 WileyCDA / WileyTitle / productCd-0471010030.html
• N.W. Johnson: Geometrías y Transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finita , 11.5 Grupos esféricos de Coxeter

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Icosahedral group». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• LOS SUBGRUPOS DE W (H3) Archivado el 30 de agosto de 2021 en Wayback Machine. (Subgrupos de otros grupos Coxeter Archivado el 2 de agosto de 2020 en Wayback Machine.) Gotz Pfeiffer